刷刷数学题，避免老年痴呆。

在youtube上看到这么一道题，觉得有点意思，就记了下来。

方程组如下：

x2 - yz = 2
y2 - xz = 3
z2 - xy = 5

求

x, y, z的值

视频里面也说了有很多解法，但大多比较ugly，推荐了一个：

不失一般性，令
x2 - yz = a ...... (1)
y2 - xz = b ...... (2)
z2 - xy = c ...... (3)

(1)式左右各乘y，(2)式左右各乘z，(3)式左右各乘x
x2y - y2z = ay
y2z - xz2 = bz
z2x - x2y = cx

3个方程加起来，左边均抵消为0
得：
0 = ay + bz + cx

又
(1)式左右各乘z，(2)式左右各乘x，(3)式左右各乘y
相加抵消后得到：
0 = az + bx + cy

两方程可以换成向量点积的表达：
<x, y, z> * <c, a, b> = 0
<x, y, z> * <b, c, a> = 0

如a, b, c均不为零
则<x, y, z> 为与 <c, a, b>和<b, c, a>所在平面垂直的向量

令z = 1，
cx + ay = -b
bx + cy = -a
求得
x = （a2 - bc）/（c2 - ab）
y = （b2 - ac）/（c2 - ab）

因此
x = k（a2 - bc）
y = k（b2 - ac）
z = k（c2 - ab）

代入原方程（1）中求k
k2（a2 - bc）2 - k2（b2 - ac）（c2 - ab） = a

k = 1 /（a3 + b3 + c3 - 3abc）1/2
因此
x = （a2 - bc）/（a3 + b3 + c3 - 3abc）1/2
y = （b2 - ac）/（a3 + b3 + c3 - 3abc）1/2
z = （c2 - ab）/（a3 + b3 + c3 - 3abc）1/2

将2, 3, 5分别代入即可
x = -11 / 701/2
y = -1 / 701/2
z = 19 / 701/2

这道题本身有特殊性，只是向量点积的方式会比较优雅。